1. Число Пи (π)
Отношение длины окружности к диаметру: 3,14159265358979... Иррациональное (не может быть выражено дробью) и трансцендентное (не является корнем никакого полинома). Рекорд вычисления: 105 триллионов цифр после запятой (2024, Google Cloud). Зачем? Для практических целей достаточно 15 цифр (погрешность менее атома при расчёте орбиты Плутона). Но математиков интересует: являются ли цифры Пи «нормальными» — т.е. каждая цифра (0-9) встречается одинаково часто? Мы не знаем, хотя подсчёты первых триллионов цифр говорят «да».
Парадокс: в бесконечной непериодической последовательности цифр Пи содержится любая конечная последовательность цифр. Ваш номер телефона, дата рождения, полный текст «Войны и мира» в двоичном коде — всё это есть где-то в цифрах Пи (если гипотеза нормальности верна).
2. Золотое сечение (φ = 1,618...)
Если отрезок разделить так, чтобы отношение целого к большей части равнялось отношению большей к меньшей — это золотое сечение. φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618033...
Где встречается: спираль раковины наутилуса, расположение семян подсолнуха (угол между семенами ≈ 137,5° = 360° / φ²), спиральные рукава галактик, пропорции Парфенона, картины Леонардо да Винчи и Сальвадора Дали. Связь с последовательностью Фибоначчи: отношение соседних чисел (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...) стремится к φ.
Но: многие «примеры» золотого сечения в природе — натяжка. Пропорции человеческого лица, пирамиды Хеопса, логотипы Apple и Toyota — при желании золотое сечение можно «найти» где угодно, если допустить погрешность 5-10%.
3. Простые числа
Число, делящееся только на 1 и себя: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17... Бесконечность простых чисел доказал Евклид (300 до н.э.). Но как они распределены? Формулы нет. Крупнейшее известное простое: 2⁸²⁵⁸⁹⁹³³ − 1 (24 862 048 цифр, 2024).
Практическое применение: вся криптография (RSA) основана на том, что умножить два больших простых числа легко, а разложить произведение на множители — практически невозможно. Ваш банковский перевод защищён простыми числами.
4. Гипотеза Римана ($1 000 000)
Связывает распределение простых чисел с нулями дзета-функции Римана. Сформулирована в 1859 году. Не доказана. Институт Клэя назначил премию $1 000 000 за доказательство (или опровержение). Если гипотеза верна — простые числа распределены «максимально гармонично». Если ложна — наше понимание числовой теории принципиально неверно.
5. Фракталы
Геометрические объекты с самоподобием: часть повторяет целое в любом масштабе. Множество Мандельброта — самый знаменитый фрактал — генерируется простейшей формулой (z = z² + c), но даёт бесконечно сложную структуру. Фракталы в природе: береговая линия, деревья, кровеносные сосуды, молнии, горы.
О тайнах космоса читайте в статье о Зоне 51. О нейросетях и математике — в отдельном материале.
